В. П. Урлапова — Об алгоритмах, нестандартных задачах и математическом интеллекте

Эта статья написана в ответ на стремление некоторых родителей или педагогов, впервые столкнувшихся с программой по арифметике Русской Классической Школы, чем-то её дополнить, разбавить или даже взять лишь часть курса, «только основное», а другую часть — из других программ. Материал не претендует на статус научного, скорее — популярного, поэтому не будем перегружать его формальными определениями терминов и понятий, а попытаемся обозначить самую суть вопроса.

WhatsApp Image 2019 03 29 at 19.46.09

Итак, откуда берётся описанная выше идея? Движет подобным стремлением обычно одно и то же опасение: люди боятся, что детям не хватит нестандартных заданий и задач с изюминкой, что они научатся быстро и правильно считать, решать задачи в несколько действий, но так и не разовьют логическое мышление, не научатся применять математику в нестандартных ситуациях, не смогут решать олимпиадные задачки. Короче говоря, это страх, что дети чего-то недополучат и их математический интеллект в итоге окажется ниже, чем у школьников, которых вместо устного счёта и типовых текстовых задач на уроках математики ежедневно пичкают ребусами и элементами теории множеств. «Программа прекрасная», — говорит такой человек, — но не дополнить ли нам её развивающими логическими заданиями Петерсон?»

Педагоги и родители, использующие программу Русской Классической Школы не первый год, знают, что оснований для подобных опасений нет. Напротив, к концу начальной школы дети, обучающиеся по учебникам Пчёлко и Поляка, намного опережают своих сверстников как по прочности и системности математических знаний, так и по уровню сложности задач, с которыми они способны справиться. Тем же, кто только начинает этот путь, предлагаем подробно разобраться в том, что представляют собой нестандартные задачи, какое место занимает способность к их решению в общей структуре математического интеллекта и что на самом деле необходимо, чтобы ребёнок научился их решать.

***

Способность решать нестандартные задачи всегда считалась более высокой ступенью в развитии математического интеллекта, чем решение типовых примеров и задач. Если ученик решал олимпиадные задачки, ни у кого даже сомнений не могло возникнуть в том, что он справится с любым заданием школьного учебника. И это правильно: школьная математика должна обеспечивать крепкую базу, основываясь на которой ученик был бы способен решить и нестандартную задачу. Должна, но... в современных реалиях, увы, не обеспечивает.

Однако вернёмся всё же к описанной выше идеальной ситуации. Знания, необходимые для решения нестандартных задач, должен давать школьный курс. Вместе с тем решение олимпиадной задачки — это определённый творческий акт, доступный не всем и не всегда. Школьная база здесь необходима, но её недостаточно. Требуется нечто большее: сильный интерес, внимательность, особая проницательность и так далее.

Следует заметить, что нестандартные задачи сложны не громоздкостью формы, а необычностью своей математической структуры. Её решение может быть очень простым, если вам удалось увидеть эту структуру. И в подобной простоте скрыта особая красота, понятная тем, кто любит математику.

Помню несложную олимпиадную задачу, которую нам, семиклассникам, предложили когда-то на первом занятии районного математического кружка: доказать, что среди любых одиннадцати чисел найдутся два, разность которых делится на десять. Задача решается мгновенно, если вам удалось увидеть одну общую особенность набора любых одиннадцати чисел: как минимум у двух из них совпадают последние цифры, потому что цифр всего десять, а чисел — одиннадцать. Эту особенность можно «ухватить» в первую секунду после прочтения условия, а можно не увидеть никогда, даже если кто-то объяснит. От чего это зависит?

Процесс решения нестандартной задачи нелинеен, непоступателен. В определённый момент мысль вдруг совершает некий скачок: несколько секунд назад решение задачи было тайной за семью печатями, и вдруг — эврика! Психологи называют такой скачок инсайтом (insight), что в буквальном переводе означает не «озарение», как любят объяснять это понятие сами психологи, а скорее «взгляд внутрь явления (in-sight), проникновение в его сущность».

iStock 89184307 MEDIUM матем школьники у доски

Что стоит за этим явлением? Есть ли у него какие-либо естественные причины или оно необъяснимо? Несмотря на то, что в инсайте всегда присутствует таинственная, лежащая за пределами человеческой воли и неподвластная контролю его разума составляющая, мы всё же можем описать предпосылки, определяющие саму возможность инсайта при решении нестандартных математических задач.

Чтобы произошёл подобный математический инсайт, ребёнок должен целенаправленно искать ясную, логически строгую и удобную для использования математическую модель (или структуру) задачи, часто — путём проб и ошибок, выдвижения и проверки гипотез. Возможность подобного поиска определяется двумя факторами:

1. Сформированная способность мыслить строго математически. Системность мышления.

2. Желание мыслить математически. Особая радость от созерцания красоты и ясности самостоятельно построенной (а точнее — самостоятельно добытой, раскрытой) математической модели. Ясность и красота — вот два мощных, как говорят психологи, ресурсных переживания, движущие любовью к математике. Стремление внести в хаос поставленной проблемы ясность и красоту мотивирует человека на поиск решения, в частности — олимпиадной задачи.

Откуда у ребёнка возьмётся всё это? Учитывая особенности развития детского мышления, можно с уверенностью сказать: только из опыта. Многократно повторяющегося практического опыта раскрытия и ясного видения чёткой математической структуры, стоящей за каждым конкретным условием задачи.

Современные «образовательные технологии» во многом механистичны, они построены по типу «конструктора». Это неизбежное следствие захватившей образование технологической парадигмы, в которой педагогическая задача образования, то есть настройки живой детской души на некий образ, как на камертон, заменена технической задачей создания множества программ и внедрения их в ум ребёнка. Работа с живым человеком строится по аналогии с программированием компьютера. Для преподавания математики это означает, что если поставлены две цели — научить детей решать задачи определённых видов и развить у них математическое мышление, то под них будут взяты два независимых блока заданий. Часто в учебниках мы видим с одной стороны типовые задания, решаемые по алгоритму, а с другой — не привязанные к изучаемому материалу оригинальные задачи с изюминкой. Это два полярных типа работы — подробная регламентированность и полная свобода творчества, между которыми — пропасть.

algoritm

Алгоритмы — это модно. «Пять ступеней к заключению сделки», «Семь шагов к счастливому браку» и тому подобное — типовые названия популярных тренингов. Современные люди готовы платить за знание алгоритмов достижения той или иной цели, иной раз чисто житейской, например, как навести порядок в доме. Это даёт возможность не изобретать собственный велосипед, а достигать результата, шаг за шагом выполняя инструкцию. Обучение алгоритмам тех или иных процессов стало одной из самых популярных образовательных технологий — в сфере бизнеса, личностного роста, школьного обучения...

Натаскать ребёнка на выполнение определённых действий во многих отношениях проще, чем пройти с ним весь путь глубокого осмысления задачи. Алгоритмы экономят время. Алгоритмы упрощают жизнь. Но они абсолютно не развивают мышление. В алгоритмизированном обучении не получает никакого развития операция синтеза, отвечающая за целостное видение. А без синтеза нет и не может быть полноценного математического мышления! Да и никакого полноценного мышления быть не может. Поэтому строить обучение математике на заучивании и воспроизведении алгоритмов, как бы это ни казалось заманчивым и удобным, — большая ошибка, последствия которой ярко и подробно описаны в статье «Пятое правило арифметики».

Чем отличается структурное мышление от алгоритмизированного? Структурное мышление многомерно. Мышление по алгоритму всегда линейно. Предвижу возражение, что и алгоритм может содержать встроенные циклы и условные операторы. Да, это так, но в данном случае речь о линейности не алгоритма как такового, а мысли, которая по нему движется. Структура задачи подобна карте города, пользуясь которой вам необходимо найти путь из точки А в точку В. Алгоритм решения — это конкретный путь из точки А в точку В. Решение по алгоритму подобно движению по навигатору: «Через двести метров поверните налево... Поверните налево... Двигайтесь прямо четыре километра... Вы приехали». Единственен ли этот путь? Не факт. Возможно, существуют и другие. Но человек, следующий алгоритму, их не видит и никогда не увидит. Его внимание полностью направлено на текущий шаг, потом — на следующий и так далее. Отнимите у него навигатор, и он потеряется. Решение математических задач по алгоритму — лишь частный случай описанного выше. Оно происходит механически, оно не позволяет увидеть математическую структуру задач. Такое решение представляет собой не только бессмысленное, но и вредное для развития математического мышления действие.

Обучая детей решать задачи по классической методике, мы учим их не применять тот или иной алгоритм, а ясно видеть структуру задачи. Это достигается, в частности, за счёт особого внимания, которое придаётся усвоению её условия. Об этом подробно писала Т. А. Алтушкина в статье «Усвоение условия задачи».

Условие усвоено, когда сюжет задачи полностью понятен и преобразован в чёткую математическую модель, то есть ребёнку понятна математическая структура задачи, очевидны как элементы, из которых состоит условие, так и связи между ними.

WhatsApp Image 2019 03 29 at 20.35.06

Каждый раз, когда дети проигрывают условие задачи, делают рисунок или составляют схему, они тренируют практический навык понимания структуры задачи. Правильно организованное проигрывание — это «проживание» структуры задачи в наглядно-действенном плане. Адекватный рисунок — её моделирование с помощью наглядно-образного мышления, составление схем — это уже шаг на следующую ступень в его развитии. Помогает обнаружить структуру задачи и аналитико-синтетический разбор её условия. Этот навык моделирования задачи, выявления её структуры невероятно полезен для развития рефлексии и перехода мышления к новому, формально-логическому уровню. Таким образом, математическая логика, которую современные программы пытаются формировать путём добавления в учебники большого количества разнообразных нестандартных задач, при обучении по классической методике постепенно и естественно вызревает в процессе ежедневного глубокого математического осмысления доступных ребёнку заданий.

Тот, кто начинает решение задачи с понимания её структуры, видит карту в целом, охватывает взглядом разные пути и осознанно выбирает более удобный. Проиллюстрируем это на простейшем примере:

У Миши было 6 конфет. Две он отдал Маше, одну — Саше. Сколько конфет осталось у Миши?

Можно последовательно отнимать отданные конфеты, а можно сложить отданные и отнять их сумму. Математически эти пути абсолютно равноценны. Однако первокласснику первый вариант более понятен из-за сообразности мышлению малыша, ведь именно этот вариант в точности отражает последовательность действий Миши — сначала он угостил Машу, и только потом — Сашу. Значит, именно этим путём и пойдём! Но если пятикласснику предстоит решить в уме аналогичную задачу:

В магазине было 312 килограммов картофеля. В первый день продали 134 кг, а во второй — 66 кг. Сколько килограммов картофеля осталось в магазине?

— то более удобным для него может оказаться второй способ, так как он значительно облегчает устные вычисления, а мышление ребёнка уже не настолько привязано к конкретной, физической последовательности действий сюжета.

Первоклашка может не видеть другого пути, и это нормально. В силу возрастных особенностей мышления для него удобной «картой» будет сам сюжет задачи со всей изложенной в нём последовательностью событий. Проиграв его, малыш легко справится с задачей. Если же на данном этапе начать усиленно внедрять в его сознание абстрактные законы сложения и вычитания с постановкой скобок и сменой знаков (что иногда начинают делать уже в детском саду, во всех этих рабочих тетрадях с нерешаемыми без родителей заданиями из серии «Что ты заметил?»), то в лучшем случае мы получим формализацию и алгоритмизацию мышления, а в худшем (разумеется, для занятий математикой, но не для психики ребёнка) — глухую психологическую защиту в форме отторжения математики как таковой.

Ребёнок постарше охватывает взглядом большее пространство, он уже видит здесь разные варианты и может осознанно выбрать из них более удобный.

Так при обучении арифметике по классической методике, постепенно восходя от простого к сложному, дети развивают и совершенствуют способность к моделированию задачи, ясному видению её структуры, то есть системность мышления. И этот подход принципиально отличается от обучения решению задач с помощью алгоритмов.

«Хорошо, — можете подумать вы. — Допустим, алгоритмизированное обучение математическое мышление не развивает и даже наоборот блокирует его. Но, возможно, нестандартные занимательные задачки, в изобилии представленные в современных учебниках и рабочих тетрадях ФГОС для начальной школы, помогут детям в развитии математического интеллекта?»

Здесь необходимо вернуться к уже сказанному. Системность мышления, а также стремление к ясности и красоте — вот что помогает ребёнку решить нестандартную задачу. Обилие нестандартных задач не способствует ни ясности, ни системности. У ребёнка с алгоритмизированным мышлением нестандартные задачи вызывают ступор, и то, что должно приносить радость открытия, только угнетает.

Что из этого следует? Неужели нестандартные задачи совсем противопоказаны детям? Конечно же, нет! Но нестандартная задача — это как десерт после еды или как декор здания. Здание не может состоять из одних декоративных элементов без фундамента, стен и кровли. Так и в обучении математике основное — это постепенное восхождение от простых примеров и задач к более сложным c обязательным повторением и закреплением, постепенное построение основательного здания системного математического мышления.

stepsupstairs 600x315

Нестандартные задачи могут быть лишь дополнением, показывающим красоту математики, прививающим вкус и подогревающим интерес к ней. Но всё это возможно лишь на прочной, устойчивой системной базе математических представлений, но не вместо неё или какой-либо её части.

Решение хорошей нестандартной задачи подобно увлекательной игре. Но эту игру способен по достоинству оценить не каждый, а лишь тот, кто интеллектуально дозрел, кто способен осмыслить данную задачу структурно или хотя бы угадать в ней очертание структуры, сделать осмысленное предположение и проверить его, кто обладает достаточным интеллектуальным ресурсом, чтобы совершить этот нелинейный скачок мысли, о котором говорилось выше. У тех, кто пока не дозрел, не может оперировать структурами на должном уровне, такая задача вместо любопытства вызовет стресс, замешательство и защитное отторжение.

Значит, нестандартные задачи должны подбираться очень тщательно, исходя из их доступности для структурного осмысления ребёнком. Таких задач должно быть немного, и они должны быть не для всех, а лишь для тех, кто безупречно справился с основной частью работы и способен на большее, в качестве награды за успех. В таком случае нестандартная задача приобретает ещё одну важную роль — она мотивирует детей успешно постигать математику. Возможно дать такую задачу в конце урока ученику, который быстро и правильно выполнил всё, что запланировано на урок.

Однако если задача дана, её решение следует довести до конца, и это ответственность педагога, особенно если речь идёт о начальной школе. Старшеклассник может уже сам в течение нескольких дней упорно штурмовать понравившуюся задачку, прокручивая в уме разные варианты её решения, пока наконец задача не сдастся под напором его мысли. Ученик начальной школы не обладает такой устойчивой мотивацией. Ему нужно помочь завершить дело, если он с первой попытки не справился сам. Это принципиальный момент для формирования интеллектуальной и учебной дисциплины. Это важно для самооценки ребёнка. Нерешённая задача способна принести больше вреда, чем пользы. Поэтому решение нужно будет проверить, а если его нет, то разобрать задачу с ребёнком, добиться ясного понимания. Если же у педагога нет времени и сил на такую индивидуальную работу, то, наверное, не следует давать детям нестандартные задачи — лучше, убедившись в том, что ребёнок правильно выполнил все задания, предназначенные для решения в классе, позволить ему начать выполнять домашнюю работу.

Итак, учитывая сказанное выше, а также насыщенность основного курса арифметики РКШ, можно сделать вывод: возможности применения нестандартных задач в рамках уроков арифметики очень ограниченны. Однако такие задачи можно использовать на занятиях математического кружка, организованных для детей, которые выказали особый интерес и способности к математике.

Нестандартная задача при правильном применении развивает математический интеллект, формирует вкус и интерес к математическому видению мира и мотивирует детей на её изучение.

Снимок

Однако чтобы она успешно справлялась со своими тремя функциями, очень важен её эстетический аспект! Речь не столько об иллюстрациях (хотя и они, безусловно, играют свою роль), сколько о ясности, точности и лаконичности формулировки условия и вопроса, о красоте и стройности предполагаемого решения. Не должно быть ничего лишнего, громоздкого. Иногда может присутствовать и тонкий юмор, придающий задаче определённый колорит, но не отвлекающий, не затмевающий собой её математическую структуру. Прекрасно, если каждая нестандартная задача будет небольшим, но цельным и гармоничным произведением интеллектуального искусства. Такие задания действительно воспитывают ум, прививают детям культуру математического мышления — неотъемлемую часть культуры общей.

Вот несколько примеров красивых и простых нестандартных задач для начальной школы:

Сумма двух чисел больше одного из них на 17 и больше другого на 13. Чему равна сумма? (Г. Б. Поляк)

Сколько десятков получится, если мы умножим 3 десятка на 3 десятка? А 3 пятка на 3 пятка? (Г. Б. Поляк)

Найдите три способа записать число 30 тремя одинаковыми цифрами, расставив между ним знаки арифметических действий (Я. И. Перельман)

Лыжник рассчитал, что если он станет делать в час 10 км, то прибудет на место назначения часом позже полудня; при скорости же 15 км в час он прибыл бы часом раньше полудня. С какой скоростью он должен бежать, чтобы прибыть на место ровно в полдень? (Я. И. Перельман)

Отдельно о допустимом и недопустимом юморе на примерах:

В одной капле воды сидит 4468 микробов, в другой капле микробов сидит в два раза больше, чем в первой, а в третьей — в четыре раза меньше, чем во второй. Сколько микробов засядут в учёном с мировым именем Иннокентий, если он перепутает эти капли с валерьянкой и выпьет их залпом? (Г. Остер)

На лугу паслись лошади под присмотром пастухов. Если бы вы пожелали узнать, сколько всех ног на лугу, то насчитали бы 82 ноги. А если бы пересчитали головы, то оказалось бы, что всех голов — лошадиных и человеческих — 26. Сколько на лугу лошадей и сколько пастухов? (Я. И. Перельман)

В первом случае развлекательно-юмористическое содержание задачи абсолютно затмевает собой её математическое прочтение, оно вызывает взрыв хохота вместо интереса к решению; во втором — гармонично дополняет его, подогревает математический интерес и направляет мысль в нужное русло.

***

Подведём итог сказанному:

1. Никакие нестандартные задачи, сколько бы их ни было, не заменят фундаментального курса математики или какой-либо его части.

2. Математический интеллект развивается благодаря системному обучению, выстроенному от простого к сложному, вследствие чего у ребёнка постепенно развивается способность мыслить математически, видеть структуру поставленных перед ним задач.

3. Именно способность видеть структуру (или математическую модель) задачи — ключевая составляющая математического интеллекта. Механическое применение формул или воспроизведение зазубренных алгоритмов совсем не означает видения структуры задачи. Алгоритмизированное обучение — крайне неэффективный способ развития математического интеллекта.

4. Нестандартные задачи эффективны лишь как дополнение к основному системному курсу. Они не должны нарушать логику цельного курса, они нужны нечасто и не всем. Задачи необходимо тщательно подбирать с учётом возможностей структурного мышления ребёнка, а решение любой начатой задачи надо доводить до завершения и ясного понимания. Лишь в этом случае нестандартные задачи будут способствовать развитию математического интеллекта.